jueves, 14 de junio de 2012

Conceptos Básicos de Muestreo


El muestreo es una herramienta de la investigación científica. Su función básica es determinar que parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población. El error que se comete debido a hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de sólo una parte de ella, se denomina error de muestreo. Obtener una muestra adecuada significa lograr una versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus rasgos básicos.
Muestra: En todas las ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo, lo que hacemos es trabajar con una muestra, entendiendo por tal una parte representativa de la población. Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las similitudes y diferencias encontradas en la población, ejemplificar las características de la misma.

Tipos de Muestreo

Inferencia estadística


Estudia como sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación de los resultados obtenidos.

Muestreo probabilístico


Consiste en elegir una muestra de una población al azar. Podemos distinguir varios tipos de muestreo:

Muestreo aleatorio simple


Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.


Muestreo aleatorio sistemático

Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen los demás hasta completar la muestra.Por ejemplo si tenemos una población formada por 100 elementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo de selección que será igual a 100/25 = 4. A continuación elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un número entre el 1 y el 4, y a partir de él obtenemos los restantes elementos de la muestra.
2, 6, 10, 14,..., 98

Muestreo aleatorio estratificado

Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoria mente, un número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada estrato.En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.soluciónsoluciónsoluciónsoluciónUn muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita.En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.Si consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población, para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción, ...) que variará de una a otra.Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

Teorema del Límite Central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

Definición

Sea \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) la función de densidad de la distribución normal definida como
f_{\mu,\sigma^2}(x)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },
con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es \mathcal{N}(0,1), a la distribución se le conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):
S_n = X_1 + \cdots + X_n \,
de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como
Z_n\ =\ \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}
para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:
\lim_{n\to\infty} \operatorname{Pr}(Z_n \le z) = \Phi(z)\,
donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

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Distribuciones Continuas


En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por F_X(x) = P( X \le x ), la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.
En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt
Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.













La distribución Binomial

Procesos de Bernoulli


Un proceso de Bernoulli es una serie de n experimantos aleatorios que verifican :

  • Cada experimento tiene dos resultados posibles, que se llaman éxito y fracaso.
  • La probabilidad p de éxito es la misma en cada experimento, y esta probabilidad no se ve afectada por el conocimiento de los resultados anteriores. La probabilidad q de fracaso viene dada por q = 1 - p.

Ejemplos :

  • Una moneda lanzada al aire 15 veces. Los dos resultados posibles son cara y cruz. La probabilidad de cara en un lanzamiento es 1/2
  • Se pregunta a 200 alumnos de de un Instituto de Enseñanza Secundaria si estudian Francés. Los dos resultados posibles son sí y no. Si se considera éxito la respuesta sí, la probabilidad p de éxito indica la proporción de estudiantes del Instituto que responden sí (estudian francés, pues suponemos que no mienten).
  • Tirar un dado de seis caras 10 veces y considerar que el resultado de una tirada, es que salga un número par o un número impar. Los resultados posibles en este caso son par e impar.
El espacio muestral, cada uno de los sucesos y la probabilidad de que ocurran, en un proceso de Bernoulli, aparecen muy nítidamente cuando se construye un árbol de probabilidades del proceso.
Por ejemplo vamos a construir el árbol de probabilidades de un proceso de Bernoulli de tres experimentos:

Aproximación de Binomial y Poisson por Normal


Para calcular probabilidades de distribuciones discretas con números grandes, es preciso sumar muchos términos, lo cual puede resultar poco práctico. Sin embargo las características de algunas distribuciones, como la binomial y la Poisson, permiten muy buenas aproximaciones mediante la distribución normal. Y como la distribución normal se puede obtener de una tabla, el problema de sumar una gran cantidad de términos queda reducido a buscar uno o dos valores en una tabla.
A continuación se presentan los métodos y justificaciones de cómo efectuar tales
aproximaciones.
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Distribuciones Discretas









Distribución Binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite nveces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
X \sim B(n, p)\,
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

 Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Distribución Normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
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miércoles, 13 de junio de 2012

La Probabilidad


Definición de probabilidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas



Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.



Teoría de probabilidades


La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:


Suceso


Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral


Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

Ejemplo1

Experimento: Se lanza una moneda, si sale águila se lanza un dado y si sale sol se lanza la moneda de nuevo.

Concepto clásico de Probabilidad

Este enfoque permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori.
El enfoque clásico es aplicado cuando todos los resultados son igualmente probables y no pueden ocurrir al mismo tiempo.
Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente cociente:
                           N(A)
               P(A) = -------------
                           N(S)
Donde:
N(A): resultados elementales posibles son favorables en el evento A
N(S): posibles resultados en el espacio muestral
EJEMPLOS
1) En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción es
            N(A)            4        1
              P(A) =   ------   =    -----  =  ----
           N(S)            52      13
2) El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba?
          P( caiga 2 ) =       1      =       .166
                                     ----
                                      6            

ENFOQUE DE FRECUENCIAS RELATIVAS (a posteriori o empírico)

Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.
No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.
A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.
Si queremos conocer la probabilidad del evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente cociente:
            Número de observaciones de A        n(A)
P(A) = -------------------------------------- = -------
               Tamaño de la muestra               n
EJEMPLOS
1) Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos para adultos con empleo, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año anterior.
Por ello, la probabilidad de ocurrencia es:
            100
P(A) = --------------- = 0.01, o 1%
10,000
2) Se sabe que una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos la fórmula:
      P ( cae águila ) = 25 = 0.41
                                ----------  
                                   60

 ENFOQUE SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD (personalista)
Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos.
El enfoque señala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta.
Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.
Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.
EJEMPLOS
1) Hay una probabilidad del 80% de que el América le gane a las Chivas.
2) Hay una probabilidad del 90% de que las ventas mejoren el año próximo
3) Hay una alta probabilidad de sacarme un 100.
4) A causa de los impuestos y de otros posibles usos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos sólo se justifica si existe al menos una probabilidad de 0.90 de que los terrenos aprecien su valor en 50% o más en los cuatro años siguientes. Al evaluar cierto terreno, este inversionista estudia los cambios de precio en el área en los años recientes, considera los niveles de precios vigentes, estudia la situación imperante y probablemente futura de proyectos de desarrollo urbano y consulta las estadísticas sobre el desarrollo económico del área geográfica en general. Con base en este recuento, concluye que existe una probabilidad de alrededor de 0.75 de que efectivamente ocurra la requerida apreciación de valor. Puesto que este valor de probabilidad en inferior a la probabilidad mínima requerida de 0.90

TIPOS DE EVENTOS


-Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

-No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.

-Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.

-No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.

-Independientes.- eventos cuya probabilidad no es afectada porque ocurran o no ocurran entre ellos.

-Dependientes.- Eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de que ocurran o no ocurran entre si.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Permutaciones
El número de Permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.
Permutaciones En n Objetos
Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:
nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1)
Ejemplo
Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.
Solución
n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
Permutaciones En Subgrupo De n Objetos
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a:
                 nPr =    n!
                            ----
                          (n-r)!
Ejemplo
En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?
Solución
n Pr = 5 P3 = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 6
                     ---- ---- ----------------
                    (n - r)!   (5 - 3)!        (2)(1)



Combinaciones



En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.

Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.

El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es igual a:


                nCr =      n! 


                             ----
                         r! (n-r)! 




Ejemplo





Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse?





Solución



nCr =10C3 = n! = 10! =10×9x8×7!=10×9x8=720= 120


                -------     -------  --------- ------ ---
                   r(n - r)!   3!(10–3)!   3!x7!    3×2x1  6




Combinaciones representando la probabilidad





En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones de resultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.






Los Axiomas De Probabilidad 



Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por kolmogórov en 1933.




Axiomas de Kolmogórov




Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una σ-álgebra, σ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

Primer axioma


La probabilidad de un suceso  A  es un número real mayor o igual que 0.


P(A) \geq 0  








Segundo axioma






La probabilidad del total, \Omega, es igual a 1, es decir,


P(\Omega) = 1\!



Tercer axioma


Si A_1, A_2, \dots son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:




P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i).



Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.





En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).



Propiedades que se deducen de los axiomas



De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:



    

  1.  P(\varnothing)=0 donde el conjunto vacío (\varnothing) representa en probabilidad el suceso imposible
    2. 

  2. Para cualquier suceso  P(A) \leq 1 
    3. 

  3.  P(A^c)=1-P(A)\;\!
    4. 

  4. Si  A \subseteq B entonces P(A) \leq P(B)
    5. 

  5.  P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B)
    6. 




Teorema de Bayes



En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.



En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.








Sea \{A_1, A_3, ..., A_i,   ...,   A_n\} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A_i). Entonces, la probabilidad P(A_i | B) viene dada por la expresión:
P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{P(B)}



donde:


    

  • P(A_i) son las probabilidades a priori.
    • 

  • P(B|A_i) es la probabilidad de B en la hipótesis A_i.
    • 

  • P(A_i|B) son las probabilidades a posteriori.
    •
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