Distribuciones Continuas

En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.

En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.

La distribución Binomial

Procesos de Bernoulli

Un proceso de Bernoulli es una serie de n experimantos aleatorios que verifican :

• Cada experimento tiene dos resultados posibles, que se llaman éxito y fracaso.
• La probabilidad p de éxito es la misma en cada experimento, y esta probabilidad no se ve afectada por el conocimiento de los resultados anteriores. La probabilidad q de fracaso viene dada por q = 1 - p.

Ejemplos :

• Una moneda lanzada al aire 15 veces. Los dos resultados posibles son cara y cruz. La probabilidad de cara en un lanzamiento es 1/2
• Se pregunta a 200 alumnos de de un Instituto de Enseñanza Secundaria si estudian Francés. Los dos resultados posibles son sí y no. Si se considera éxito la respuesta sí, la probabilidad p de éxito indica la proporción de estudiantes del Instituto que responden sí (estudian francés, pues suponemos que no mienten).
• Tirar un dado de seis caras 10 veces y considerar que el resultado de una tirada, es que salga un número par o un número impar. Los resultados posibles en este caso son par e impar.

El espacio muestral, cada uno de los sucesos y la probabilidad de que ocurran, en un proceso de Bernoulli, aparecen muy nítidamente cuando se construye un árbol de probabilidades del proceso.

Por ejemplo vamos a construir el árbol de probabilidades de un proceso de Bernoulli de tres experimentos:

Aproximación de Binomial y Poisson por Normal

Para calcular probabilidades de distribuciones discretas con números grandes, es preciso sumar muchos términos, lo cual puede resultar poco práctico. Sin embargo las características de algunas distribuciones, como la binomial y la Poisson, permiten muy buenas aproximaciones mediante la distribución normal. Y como la distribución normal se puede obtener de una tabla, el problema de sumar una gran cantidad de términos queda reducido a buscar uno o dos valores en una tabla.

A continuación se presentan los métodos y justificaciones de cómo efectuar tales

aproximaciones.